Функция распределения случайной величины. Виды распределения. Нормальный закон распределения вероятностей Нормальное распределение характеризуется тем что

Закон нормального распределения, так называемый закон Гаусса - один из самых распространенных законов. Это фундаментальный закон в теории вероятностей и в ее применении. Нормальное распределение чаще всего встречается в изучении природных и социально-экономических явлений. Иначе говоря, большинство статистических совокупностей в природе и обществе подчиняется закону нормального распределения. Соответственно можно сказать, что совокупности большого числа крупных по объему выборок подчиняются закону нормального распределения. Те из совокупностей, которые отклоняются от нормального распределения в результате специальных преобразований, могут быть приближены к нормальному. В связи с этим следует помнить, что принципиальная особенность этого закона применительно к другим законам распределения заключается в том, что он является законом границы, к которой приближаются другие законы распределения в определенных (типовых) условиях.

Следует отметить, что термин "нормальное распределение" имеет условный смысл, как общепринятый в математической и статистико-математической литературе термин. Утверждение, что тот или иной признак любого явления подчиняется закону нормального распределения, вовсе не означает незыблемость норм, будто присущих исследуемому явлению, а отнесения последнего ко второму виду закона не означает какую-то анормальнисть данного явления. В этом смысле термин "нормальное распределение" не совсем удачен.

Нормальное распределение (закон Гаусса-Лапласа) является типом непрерывного распределения. Где Муавр (одна тысяча семьсот семьдесят три, Франция) вывел нормальный закон распределения вероятностей. Основные идеи этого открытия были использованы в теории ошибок впервые К. Гауссом (1809, Германия) и А.Лапласом (1812, Франция), которые внесли витчутний теоретический вклад в разработку самого закона. В частности, К. Гаусс в своих разработках исходил из признания наиболее вероятным значением случайной величины-среднюю арифметическую. Общие условия возникновения нормального распределения установил А.М.Ляпунова. Им было доказано, что если исследуемая признак представляет собой результат суммарного воздействия многих факторов, каждый из которых мало связан с большинством остальных, и влияние каждого фактора на конечный результат гораздо перекрывается суммарным воздействием всех остальных факторов, то распределение становится близким к нормальному.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, имеет плотность:

1 +1 (& #) 2

/ (х, х, <т) = - ^ е 2 ст2

где х - математическое ожидание или средняя величина. Как видно, нормальное распределение определяется двумя параметрами: х и °. Чтобы задать нормальное распределение, достаточно знать математическое ожидание или среднее и среднее квадратическое отклонение. Эти две величины определяют центр группировки и форму

кривой на графике. График функции и (хх, в) называется нормальной кривой (кривая Гаусса) с параметрами х и в (рис. 12).

Кривая нормального распределения имеет точки перегиба при X ± 1. Если представить графически, то между X = + l и 1 = -1 находится 0,683 части всей площади кривой (т.е. 68,3%). В границах X = + 2 и X- 2. находятся 0,954 площади (95,4%), а между X = + 3 и X = - 3 - 0,997 части всей площади распределения (99,7%). На рис. 13 проиллюстрирован характер нормального распределения с одно-, двух- и трисигмовою границами.

При нормальном распределении средняя арифметическая, мода и медиана будут равны между собой. Форма нормальной кривой имеет вид одновершинные симметричной кривой, ветки которой асимптотически приближаются к оси абсцисс. Наибольшая ордината кривой соответствует х = 0. В этой точке на оси абсцисс размещается численное значение признаков, равное средней арифметической, моде и медиане. По обе стороны от вершины кривой ее ветки приходят, изменяя в определенных точках форму выпуклости на вогнутость. Эти точки симметричные и соответствуют значениям х = ± 1, то есть величинам признаки, отклонения которых от средней численно равна среднему квадратичному отклонению. Ордината, что соответствует средней арифметической, делит всю площадь между кривой и осью абсцисс пополам. Итак, вероятности появления значений исследуемого признака больших и меньших средней

арифметической будут равны 0,50, то есть х, (~ ^ х) = 0,50 В

Рис.12. Кривая нормального распределения (кривая Гаусса)

Форму и положение нормальной кривой обусловливают значение средней и среднего квадратичного отклонения. Математически доказано, что изменение величины среднего (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещение вдоль оси абсцисс. Кривая сдвигается вправо, если ~ растет, и влево, если ~ приходит.

Рис.14. Кривые нормального распределения с различными значениями параметра в

Об изменении формы графика нормальной кривой при изменении

среднего квадратичного отклонения можно судить по максимуму

дифференциальной функции нормального распределения, равный 1

Как видно, при росте величины ° максимальная ордината кривой будет уменьшаться. Следовательно, кривая нормального распределения будет сжиматься к оси абсцисс и принимать более плосковершинных форму.

И, наоборот, при уменьшении параметра в нормальная кривая вытягивается в положительном направлении оси ординат, а форма "колокола" становится более гостровершиною (рис. 14). Отметим, что независимо от величины параметров ~ и в площадь, ограниченная осью абсцисс и кривой, всегда равен единице (свойство плотности распределения). Это наглядно иллюстрирует график (рис. 13).

Названные выше особенности проявления "нормальности" распределения позволяют выделить ряд общих свойств, которые имеют кривые нормального распределения:

1) любой нормальный кривая достигает точки максимума (х = х) приходит непрерывно вправо и влево от него, постепенно приближаясь к оси абсцисс;

2) любой нормальный кривая симметрична по отношению к прямой,

параллельной оси ординат и проходит через точку максимума (х = х)

максимальная ордината равна ^^^ я;

3) любой нормальный кривая имеет форму "колокола", имеет выпуклость, которая направлена вверх к точке максимума. В точках х ~ ° и х + в она меняет выпуклость, и, чем меньше а, тем острее "колокол", а чем больше а, тем более похилишою становится вершина "колокола" (рис.14). Изменение математического ожидания (при неизменной величине

в) не приводит к модификации формы кривой.

При х = 0 и ° = 1 нормальную кривую называют нормированной кривой или нормальным распределением в каноническом виде.

Нормированная кривая описывается следующей формуле:

Построение нормальной кривой по эмпирическим данным производится по формуле:

пи 1 - "" = --- 7 = е

где и ™ - теоретическая частота каждого интервала (группы) распределения; "- Сумма частот, равную объему совокупности; "- шаг интервала;

же - отношение длины окружности к ее диаметру, которое составляет

е - основание натуральных логарифмов, равна 2,71828;

Вторая и третья части формулы) является функцией

нормированного отклонения ЦЧ), которую можно рассчитать для любых значений X. Таблицы значений ЦЧ) обычно называют "таблицы ординат нормальной кривой" (приложение 3). При использовании этих функций рабочая формула нормального распределения приобретает простого вида:

Пример. Рассмотрим случай построения нормальной кривой на примере данных о распределении 57 работников по уровню дневного заработка (табл. 42). По данным таблицы 42, находим среднюю арифметическую:

~ = ^ = И6 54 =

Рассчитываем среднее квадратическое отклонение:

Для каждой строки таблицы находим значение нормированного отклонения

х и ~ х | 12 г => - = - ^ 2 = 1.92

а 6.25 (дд Я первого интервала и т.д.).

В графе 8 табл. 42 записываем табличное значение функции Ди) из приложения, например, для первого интервала X = 1.92 находим "1,9" против "2" (0.0632).

Для вычисления теоретических частот, то есть ординат кривой нормального распределения, вычисляется множитель:

* = ^ = 36,5 а 6,25

Все найденные табличные значения функции / (г) умножаем на 36,5. Так, для первого интервала получаем 0,0632x36,5 = 2,31 т. Принято немногочисленные

частоты (п "<5) объединять (в нашем примере - первые два и последние два интервала).

Если крайние теоретические частоты значительно отличаются от нуля, расхождение между суммами эмпирических и теоретических частот может оказаться значительной.

График распределения эмпирических и теоретических частот (нормальная кривая) по данным рассматриваемого примера показано на рисунке 15.

Рассмотрим пример определения частот нормального распределения для случая, когда в крайних интервалах отсутствует частота (табл. 43). Здесь эмпирическая

X - нормированное отклонение, (в) а - среднее квадратическое отклонение.

частота первого интервала равна нулю. Полученная сумма неуточненных частот не равна сумме их эмпирических значений (56 * 57). В этом случае рассчитывается теоретическая частота для умывания полученных значений центра интервала, нормированного отклонения и его функции.

В таблице 43 эти величины обведено прямоугольником. При построении графика нормальной кривой в таких случаях теоретическую кривую продолжают. В рассматриваемом случае нормальная кривая будет продолжена в сторону отрицательных отклонений от средней, поскольку первая не уточнена частота равна 5. Рассчитана теоретическая частота (уточненная) для первого интервала будет равен единице. По сумме уточнены частоты совпадают с эмпирическими

Таблица 42

Таблица 43

Расчет частот нормального распределения (выравнивание эмпирических частот по нормальному закону)

Рис. 15. Эмпирический распределение (1) и нормальная кривая (2)

Кривую нормального распределения по исследуемой совокупности можно построить и другим способом (в отличие, от рассмотренного выше). Так, если необходимо иметь приближенную представление о соответствии фактического распределения нормальному, вычисления осуществляют следующим последовательности. Определяют максимальную ординату, которая соответствует среднему размеру признаки), затем, вычислив среднее квадратическое отклонение, рассчитывают координаты точек кривой нормального распределения по схеме, изложенной в таблицах 42 и 43. Так, по исходным и расчетным данным таблицы 43 должны среднюю ~ = 26 Эта величина средней совпадает с центром четвертого интервала (25-27). Итак, частота этого интервала "20" может быть принята (при построении графика) максимальной ординату). Имея исчисленную дисперсию (в = 2,41 см. Табл. 43), рассчитываем значения координат всех необходимых точек кривой нормального распределения (табл. 44, 45). По полученным координатам чертим нормальную кривую (рис. 16), приняв максимальной ординату частоту четвертого интервала.

Согласованность эмпирического распределения с нормальным может быть установлена также путем упрощенных расчетов. Так, если отношение показателя степени асимметрии (^) к своей середнеквадраты-ческой ошибки ш а "или отношение показателя эксцесса (Е х) к своей среднеквадратического ошибки т & превышает по абсолютной величине число« 3 », делается вывод о несоответствии эмпирического распределения характера нормального распределения (то есть,

А ц Е х

если ™ А> 3 или ш е "> 3).

Есть и другие, нетрудоемкие приемы установления "нормальности" распределения: а) сравнение средней арифметической с модой и медианой; б) использование цифр Вестергард; в) применение графического образа с помощью полулогарифмическая сетки Турбина; г) вычисление специальных критериев согласования и др.

Таблица 44

Координаты 7 точек кривой нормального распределения

Таблица 45

Вычисление координат точек кривой нормального распределения

Рис.16. Кривая нормального распределения, построенная по семи точках

На практике при исследовании совокупности на предмет согласования ее распределения с нормальным часто пользуются "правилом 3сг".

Математически доказано вероятность того, что отклонение от средней по абсолютной величине будет меньше тройного среднего квадратичного отклонения, равно 0,9973, то есть, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превышает тройное среднее квадратическое отклонение, равна 0,0027 или очень мала. Исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможным "случай превышения" 3 ст. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания (средней) не превышает тройного среднего квадратичного отклонения.

В практических расчетах действуют таким образом. Если при неизвестном характере распределения исследуемой случайной величины рассчитанное значение отклонения от средней окажется меньше значения 3 СТ, то есть основания полагать, что исследуемая признак распределена нормально. Если же указанный параметр превысит числовое значение 3 СТ, можно считать, что распределение исследуемой величины не согласуется с нормальным распределением.

Вычисления теоретических частот для исследуемого эмпирического ряда распределения принято называть выравниванием эмпирических кривых по нормальному (или любом другом) закона распределения. Этот процесс имеет важное как теоретическое, так практическое значение. Выравнивание эмпирических данных раскрывает закономерность в их распределении, которая может быть завуалирована случайной формой своего проявления. Установленную таким образом закономерность можно использовать для решения ряда практических задач.

С распределением, близким к нормальному, исследователь встречается в различных сферах науки и областях практической деятельности человека. В экономике такого рода распределения встречаются реже, чем, скажем, в технике или биологии. Обусловлено это самой природой социально-экономических явлений, которые характеризуются большой сложностью взаимосвязанных и взаимосвязанных факторов, а также наличием ряда условий, ограничивающих свободную "игру" случаев. Но экономист должен обращаться к нормальному распределению, анализируя строение эмпирических распределений, как к некоторому эталону. Такое сравнение позволяет выяснить характер тех внутренних условий, которые определяют данную фигуру распределения.

Проникновение сферы статистических исследований в область социально-экономических явлений позволило раскрыть существование большого количества различного типа кривых распределения. Однако не надо считать, что теоретическая концепция кривой нормального распределения вообще мало пригодна в статистико-математическом анализе такого типа явлений. Она может быть не всегда приемлема в анализе конкретного статистического распределения, но в области теории и практики выборочного метода исследования имеет первостепенное значение.

Назовем основные аспекты применения нормального распределения в статистико-математическом анализе.

1. Для определения вероятности конкретного значения признака. Это необходимо при проверке гипотез о соответствии того или иного эмпирического распределения нормальному.

2. При оценке ряда параметров, например, средних, методом максимального правдоподобия. Суть его заключается в определении такого закона, которому подчиняется совокупность. Определяется и оценка, которая дает максимальные значения. Лучшее приближение к параметрам генеральной совокупности дает отношение:

у = - 2 = е 2

3. Для определения вероятности выборочных средних относительно генеральных средних.

4. При определении доверительного интервала, в котором находится приближенное значение характеристик генеральной совокупности.

) играет осо-бо важную роль в теории вероятностей и чаще других применяется в решении практических задач. Его главная особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются дру-гие законы распределения при весьма часто встречающихся типич-ных условиях. Например, сумма достаточно большого числа неза-висимых (или слабо зависимых) случайных величин приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем больше случайных величин суммируется.

Экспериментально доказано, что нормальному закону под-чиняются погрешности измерений, отклонения геометрических размеров и положения элементов строительных конструкций при их изготовлении и монтаже, изменчивость физико-механических характеристик материалов и нагру-зок, действующих на строительные конструкции.

Распределению Гаусса подчи-няются почти все случайные вели-чины, отклонение которых от сред-них значений вызывается большой совокупностью случайных факто-ров, каждый из которых в отдельности незначителен (центральная предельная теорема).

Нормальным распределением называется распределение случайной непрерывной величины, для которых плотность вероят-ностей имеет вид (рис. 18.1).

Рис. 18.1. Нормальный закон распределения при а 1 < a 2 .

где а и — параметры распределения.

Вероятностные характеристики случайной величины, распре-деленной по нормальному закону, равны:

Математическое ожидание (18.2)

Дисперсия (18.3)

Среднеквадратичное отклонение (18.4)

Коэффициент асимметрии А = 0 (18.5)

Эксцесс Е = 0. (18.6)

Параметр σ, входящий в распределение Гаусса равен сред-неквадратичному отношению слу-чайной величины. Величина а оп-ределяет положение центра рас-пределения (см. рис. 18.1), а величина а — ширину распределе-ния (рис. 18.2), т.е. статистический разброс вокруг средней величины.

Рис. 18.2. Нормальный закон распределения при σ 1 < σ 2 < σ 3

Вероятность попадания в заданный интервал (от x 1 до x 2) для нормального распределения, как и во всех случаях, определяется интегралом от плотности вероятности (18.1), который не выража-ется через элементарные функции и представляется специальной функцией, называется функцией Лапласа (интеграл вероятностей).

Одно из представлений интеграла вероятностей:

(18.7)

Величина и называется квантилем.

Видно, что Ф(х) — нечетная функция, т. е. Ф(-х) = -Ф(х). Значения этой функции вычислены и представлены в виде таблиц в технической и учебной литературе.

Функция распределения нормального закона (рис. 18.3) может быть выражена через ин-теграл вероятностей:

(18.9)

Рис. 18.2. Функция нормального закона распределения.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервал от х. до х, определяется выра-жением:

Следует заметить, что

Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.

При решении практических задач, связанных с распределе-нием, часто приходится рассматривать вероятность попадания в интервал, симметричный относительно математического ожидания, если длина этого интервала т.е. если сам интервал имеет грани-цу от до , имеем:

При решении практических задач границы отклонений слу-чайных величин выражаются через стандарт, среднеквадратичное отклонение, умноженное на некоторый множитель, определяющий границы области отклонений случайной величины.

Принимая и а также используя формулу (18.10) и таблицу Ф(х) (приложение № 1), получим

Эти формулы показывают , что если случайная величина име-ет нормальное распределение, то вероятность ее отклонения от сво-его среднего значения не более чем на σ составляет 68,27 %, не бо-лее чем на 2σ — 95,45 % и не более чем на Зσ — 99,73 %.

Поскольку величина 0,9973 близка к единице, практически считается невозможным отклонение нормального распределения случайной величины от математического ожидания более чем на Зσ. Это правило, справедливое только для нормального распределения, называется правилом трех сигм. Нарушение его имеет вероятность Р = 1 - 0,9973 = 0,0027. Этим правилом пользуются при установле-нии границ допустимых отклонений допусков геометрических ха-рактеристик изделий и конструкций.

Нормальный закон распределения вероятностей

Без преувеличения его можно назвать философским законом. Наблюдая за различными объектами и процессами окружающего мира, мы часто сталкиваемся с тем, что чего-то бывает мало, и что бывает норма:


Перед вами принципиальный вид функции плотности нормального распределения вероятностей, и я приветствую вас на этом интереснейшем уроке.

Какие можно привести примеры? Их просто тьма. Это, например, рост, вес людей (и не только), их физическая сила, умственные способности и т.д. Существует «основная масса» (по тому или иному признаку) и существуют отклонения в обе стороны.

Это различные характеристики неодушевленных объектов (те же размеры, вес). Это случайная продолжительность процессов, например, время забега стометровки или превращения смолы в янтарь. Из физики вспомнились молекулы воздуха: среди них есть медленные, есть быстрые, но большинство двигаются со «стандартными» скоростями.

Далее отклоняемся от центра ещё на одно стандартное отклонение и рассчитываем высоту:

Отмечаем точки на чертеже (зелёный цвет) и видим, что этого вполне достаточно.

На завершающем этапе аккуратно чертим график, и особо аккуратно отражаем его выпуклость / вогнутость ! Ну и, наверное, вы давно поняли, что ось абсцисс – это горизонтальная асимптота , и «залезать» за неё категорически нельзя!

При электронном оформлении решения график легко построить в Экселе, и неожиданно для самого себя я даже записал короткий видеоролик на эту тему. Но сначала поговорим о том, как меняется форма нормальной кривой в зависимости от значений и .

При увеличении или уменьшении «а» (при неизменном «сигма») график сохраняет свою форму и перемещается вправо / влево соответственно. Так, например, при функция принимает вид и наш график «переезжает» на 3 единицы влево – ровнехонько в начало координат:


Нормально распределённая величина с нулевым математическим ожиданием получила вполне естественное название – центрированная ; её функция плотности – чётная , и график симметричен относительно оси ординат.

В случае изменения «сигмы» (при постоянном «а») , график «остаётся на месте», но меняет форму. При увеличении он становится более низким и вытянутым, словно осьминог, растягивающий щупальца. И, наоборот, при уменьшении график становится более узким и высоким – получается «удивлённый осьминог». Так, при уменьшении «сигмы» в два раза: предыдущий график сужается и вытягивается вверх в два раза:

Всё в полном соответствии с геометрическими преобразованиями графиков .

Нормальное распределёние с единичным значением «сигма» называется нормированным , а если оно ещё и центрировано (наш случай), то такое распределение называют стандартным . Оно имеет ещё более простую функцию плотности, которая уже встречалась в локальной теореме Лапласа : . Стандартное распределение нашло широкое применение на практике, и очень скоро мы окончательно поймём его предназначение.

Ну а теперь смотрим кино:

Да, совершенно верно – как-то незаслуженно у нас осталась в тени функция распределения вероятностей . Вспоминаем её определение :
– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все действительные значения до «плюс» бесконечности.

Внутри интеграла обычно используют другую букву, чтобы не возникало «накладок» с обозначениями, ибо здесь каждому значению ставится в соответствие несобственный интеграл , который равен некоторому числу из интервала .

Почти все значения не поддаются точному расчету, но как мы только что видели, с современными вычислительными мощностями с этим нет никаких трудностей. Так, для функции стандартного распределения соответствующая экселевская функция вообще содержит один аргумент:

=НОРМСТРАСП(z)

Раз, два – и готово:

На чертеже хорошо видно выполнение всех свойств функции распределения , и из технических нюансов здесь следует обратить внимание на горизонтальные асимптоты и точку перегиба .

Теперь вспомним одну из ключевых задач темы, а именно выясним, как найти –вероятность того, что нормальная случайная величина примет значение из интервала . Геометрически эта вероятность равна площади между нормальной кривой и осью абсцисс на соответствующем участке:

но каждый раз вымучивать приближенное значение неразумно, и поэтому здесь рациональнее использовать «лёгкую» формулу :
.

! Вспоминает также , что

Тут можно снова задействовать Эксель, но есть пара весомых «но»: во-первых, он не всегда под рукой, а во-вторых, «готовые» значения , скорее всего, вызовут вопросы у преподавателя. Почему?

Об этом я неоднократно рассказывал ранее: в своё время (и ещё не очень давно) роскошью был обычный калькулятор, и в учебной литературе до сих пор сохранился «ручной» способ решения рассматриваемой задачи. Его суть состоит в том, чтобы стандартизировать значения «альфа» и «бета», то есть свести решение к стандартному распределению:

Примечание : функцию легко получить из общего случая с помощью линейной замены . Тогда и:

и из проведённой замены как раз следует формула перехода от значений произвольного распределения – к соответствующим значениям стандартного распределения.

Зачем это нужно? Дело в том, что значения скрупулезно подсчитаны нашими предками и сведены в специальную таблицу, которая есть во многих книгах по терверу. Но ещё чаще встречается таблица значений , с которой мы уже имели дело в интегральной теореме Лапласа :

Если же в нашем распоряжении есть таблица значений функции Лапласа , то решаем через неё:

Дробные значения традиционно округляем до 4 знаков после запятой, как это сделано в типовой таблице. И для контроля есть Пункт 5 макета .

Напоминаю, что , и во избежание путаницы всегда контролируйте , таблица КАКОЙ функции перед вашими глазами.

Ответ требуется дать в процентах, поэтому рассчитанную вероятность нужно умножить на 100 и снабдить результат содержательным комментарием:

– с перелётом от 5 до 70 м упадёт примерно 15,87% снарядов

Тренируемся самостоятельно:

Пример 3

Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,04 см. Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1,4 до 1,6 см.

В образце решения и далее я буду использовать функцию Лапласа, как самый распространённый вариант. Кстати, обратите внимание, что согласно формулировке, здесь можно включить концы интервала в рассмотрение. Впрочем, это не критично.

И уже в этом примере нам встретился особый случай – когда интервал симметричен относительно математического ожидания. В такой ситуации его можно записать в виде и, пользуясь нечётностью функции Лапласа, упростить рабочую формулу:

Параметр «дельта» называют отклонением от математического ожидания, и двойное неравенство можно «упаковывать» с помощью модуля :

– вероятность того, что значение случайной величины отклонится от математического ожидания менее чем на .

Хорошо то решение, которое умещается в одну строчку:)
– вероятность того, что диаметр наугад взятого подшипника отличается от 1,5 см не более чем на 0,1 см.

Результат этой задачи получился близким к единице, но хотелось бы ещё бОльшей надежности – а именно, узнать границы, в которых находится диаметр почти всех подшипников. Существует ли какой-нибудь критерий на этот счёт? Существует! На поставленный вопрос отвечает так называемое

правило «трех сигм»

Его суть состоит в том, что практически достоверным является тот факт, что нормально распределённая случайная величина примет значение из промежутка .

И в самом деле, вероятность отклонения от матожидания менее чем на составляет:
или 99,73%

В «пересчёте на подшипники» – это 9973 штуки с диаметром от 1,38 до 1,62 см и всего лишь 27 «некондиционных» экземпляров.

В практических исследованиях правило «трёх сигм» обычно применяют в обратном направлении: если статистически установлено, что почти все значения исследуемой случайной величины укладываются в интервал длиной 6 стандартных отклонений, то появляются веские основания полагать, что эта величина распределена по нормальному закону. Проверка осуществляется с помощью теории статистических гипотез .

Продолжаем решать суровые советские задачи:

Пример 4

Случайная величина ошибки взвешивания распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением 3 грамма. Найти вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 5 грамм.

Решение очень простое. По условию, и сразу заметим, что при очередном взвешивании (чего-то или кого-то) мы почти 100% получим результат с точностью до 9 грамм. Но в задаче фигурирует более узкое отклонение и по формуле :

– вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей 5 грамм.

Ответ :

Прорешанная задача принципиально отличается от вроде бы похожего Примера 3 урока о равномерном распределении . Там была погрешность округления результатов измерений, здесь же речь идёт о случайной погрешности самих измерений. Такие погрешности возникают в связи с техническими характеристиками самого прибора (диапазон допустимых ошибок, как правило, указывают в его паспорте) , а также по вине экспериментатора – когда мы, например, «на глазок» снимаем показания со стрелки тех же весов.

Помимо прочих, существуют ещё так называемые систематические ошибки измерения. Это уже неслучайные ошибки, которые возникают по причине некорректной настройки или эксплуатации прибора. Так, например, неотрегулированные напольные весы могут стабильно «прибавлять» килограмм, а продавец систематически обвешивать покупателей. Или не систематически ведь можно обсчитать. Однако, в любом случае, случайной такая ошибка не будет, и её матожидание отлично от нуля.

…срочно разрабатываю курс по подготовке продавцов =)

Самостоятельно решаем обратную задачу:

Пример 5

Диаметр валика – случайная нормально распределенная случайная величина, среднее квадратическое отклонение ее равно мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью попадет длина диаметра валика.

Пункт 5* расчётного макета в помощь. Обратите внимание, что здесь не известно математическое ожидание, но это нисколько не мешает решить поставленную задачу.

И экзаменационное задание, которое я настоятельно рекомендую для закрепления материала:

Пример 6

Нормально распределенная случайная величина задана своими параметрами (математическое ожидание) и (среднее квадратическое отклонение). Требуется:

а) записать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;
б) найти вероятность того, что примет значение из интервала ;
в) найти вероятность того, что отклонится по модулю от не более чем на ;
г) применяя правило «трех сигм», найти значения случайной величины .

Такие задачи предлагаются повсеместно, и за годы практики мне их довелось решить сотни и сотни штук. Обязательно попрактикуйтесь в ручном построении чертежа и использовании бумажных таблиц;)

Ну а я разберу пример повышенной сложности:

Пример 7

Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид . Найти , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения , построить графики плотности и функции распределения, найти .

Решение : прежде всего, обратим внимание, что в условии ничего не сказано о характере случайной величины. Само по себе присутствие экспоненты ещё ничего не значит: это может оказаться, например, показательное или вообще произвольное непрерывное распределение . И поэтому «нормальность» распределения ещё нужно обосновать:

Так как функция определена при любом действительном значении , и её можно привести к виду , то случайная величина распределена по нормальному закону.

Приводим. Для этого выделяем полный квадрат и организуем трёхэтажную дробь :


Обязательно выполняем проверку, возвращая показатель в исходный вид:

, что мы и хотели увидеть.

Таким образом:
– по правилу действий со степенями «отщипываем» . И здесь можно сразу записать очевидные числовые характеристики:

Теперь найдём значение параметра . Поскольку множитель нормального распределения имеет вид и , то:
, откуда выражаем и подставляем в нашу функцию:
, после чего ещё раз пробежимся по записи глазами и убедимся, что полученная функция имеет вид .

Построим график плотности:

и график функции распределения :

Если под рукой нет Экселя и даже обычного калькулятора, то последний график легко строится вручную! В точке функция распределения принимает значение и здесь находится

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Нормальное распределение: теоретические основы

Примерами случайных величин, распределённых по нормальному закону, являются рост человека, масса вылавливаемой рыбы одного вида . Нормальность распределения означает следующее : существуют значения роста человека, массы рыбы одного вида, которые на интуитивном уровне воспринимаются как "нормальные" (а по сути - усреднённые), и они-то в достаточно большой выборке встречаются гораздо чаще, чем отличающиеся в бОльшую или меньшую сторону.

Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины (иногда - распределение Гаусса) можно назвать колоколообразным из-за того, что симметричная относительно среднего функция плотности этого распределения очень похожа на разрез колокола (красная кривая на рисунке выше).

Вероятность встретить в выборке те или иные значение равна площади фигуры под кривой и в случае нормального распределения мы видим, что под верхом "колокола", которому соответствуют значения, стремящиеся к среднему, площадь, а значит, вероятность, больше, чем под краями. Таким образом, получаем то же, что уже сказано: вероятность встретить человека "нормального" роста, поймать рыбу "нормальной" массы выше, чем для значений, отличающихся в бОльшую или меньшую сторону. В очень многих случаях практики ошибки измерения распределяются по закону, близкому к нормальному.

Остановимся ещё раз на рисунке в начале урока, на котором представлена функция плотности нормального распределения. График этой функции получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA . На ней столбцы гистограммы представляют собой интервалы значений выборки, распределение которых близко (или, как принято говорить в статистике, незначимо отличаются от) к собственно графику функции плотности нормального распределения, который представляет собой кривую красного цвета. На графике видно, что эта кривая действительно колоколообразная.

Нормальное распределение во многом ценно благодаря тому, что зная только математическое ожидание непрерывной случайной величины и стандартное отклонение, можно вычислить любую вероятность, связанную с этой величиной.

Нормальное распределение имеет ещё и то преимущество, что один из наиболее простых в использовании статистических критериев, используемых для проверки статистических гипотез - критерий Стьюдента - может быть использован только в том случае, когда данные выборки подчиняются нормальному закону распределения.

Функцию плотности нормального распределения непрерывной случайной величины можно найти по формуле:

,

где x - значение изменяющейся величины, - среднее значение, - стандартное отклонение, e =2,71828... - основание натурального логарифма, =3,1416...

Свойства функции плотности нормального распределения

Изменения среднего значения перемещают кривую функции плотности нормального распределения в направлении оси Ox . Если возрастает, кривая перемещается вправо, если уменьшается, то влево.

Если меняется стандартное отклонение, то меняется высота вершины кривой. При увеличении стандартного отклонения вершина кривой находится выше, при уменьшении - ниже.

Вероятность попадания значения нормально распределённой случайной величины в заданный интервал

Уже в этом параграфе начнём решать практические задачи, смысл которых обозначен в заголовке. Разберём, какие возможности для решения задач предоставляет теория. Отправное понятие для вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал - интегральная функция нормального распределения.

Интегральная функция нормального распределения :

.

Однако проблематично получить таблицы для каждой возможной комбинации среднего и стандартного отклонения. Поэтому одним из простых способов вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал является использование таблиц вероятностей для стандартизированного нормального распределения.

Стандартизованным или нормированным называется нормальное распределение , среднее значение которого , а стандартное отклонение .

Функция плотности стандартизованного нормального распределения :

.

Интегральная функция стандартизованного нормального распределения :

.

На рисунке ниже представлена интегральная функция стандартизованного нормального распределения, график которой получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA . Собственно график представляет собой кривую красного цвета, а значения выборки приближаются к нему.

Для увеличения рисунка можно щёлкнуть по нему левой кнопкой мыши.

Стандартизация случайной величины означает переход от первоначальных единиц, используемых в задании, к стандартизованным единицам. Стандартизация выполняется по формуле

На практике все возможные значения случайной величины часто не известны, поэтому значения среднего и стандартного отклонения точно определить нельзя. Их заменяют средним арифметическим наблюдений и стандартным отклонением s . Величина z выражает отклонения значений случайной величины от среднего арифметического при измерении стандартных отклонений.

Открытый интервал

Таблица вероятностей для стандартизированного нормального распределения, которая есть практически в любой книге по статистике, содержит вероятности того, что имеющая стандартное нормальное распределение случайная величина Z примет значение меньше некоторого числа z . То есть попадёт в открытый интервал от минус бесконечности до z . Например, вероятность того, что величина Z меньше 1,5, равна 0,93319.

Пример 1. Предприятие производит детали, срок службы которых нормально распределён со средним значением 1000 и стандартным отклонением 200 часов.

Для случайно отобранной детали вычислить вероятность того, что её срок службы будет не менее 900 часов.

Решение. Введём первое обозначение:

Искомая вероятность.

Значения случайной величины находятся в открытом интервале. Но мы умеем вычислять вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного, а по условию задачи требуется найти равное или большее заданного. Это другая часть пространства под кривой плотности нормального распределения (колокола). Поэтому, чтобы найти искомую вероятность, нужно из единицы вычесть упомянутую вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше заданного 900:

Теперь случайную величину нужно стандартизировать.

Продолжаем вводить обозначения:

z = (X ≤ 900) ;

x = 900 - заданное значение случайной величины;

μ = 1000 - среднее значение;

σ = 200 - стандартное отклонение.

По этим данным условия задачи получаем:

.

По таблицам стандартизированной случайной величине (границе интервала) z = −0,5 соответствует вероятность 0,30854. Вычтем ее из единицы и получим то, что требуется в условии задачи:

Итак, вероятность того, что срок службы детали будет не менее 900 часов, составляет 69%.

Эту вероятность можно получить, используя функцию MS Excel НОРМ.РАСП (значение интегральной величины - 1):

P (X ≥900) = 1 - P (X ≤900) = 1 - НОРМ.РАСП(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

О расчётах в MS Excel - в одном из последующих параграфах этого урока.

Пример 2. В некотором городе среднегодовой доход семьи является нормально распределённой случайной величиной со средним значением 300000 и стандартным отклонением 50000. Известно, что доходы 40 % семей меньше величины A . Найти величину A .

Решение. В этой задаче 40 % - ни что иное, как вероятность того, что случайная величина примет значение из открытого интервала, меньшее определённого значения, обозначенного буквой A .

Чтобы найти величину A , сначала составим интегральную функцию:

По условию задачи

μ = 300000 - среднее значение;

σ = 50000 - стандартное отклонение;

x = A - величина, которую нужно найти.

Составляем равенство

.

По статистическим таблицам находим, что вероятность 0,40 соответствует значению границы интервала z = −0,25 .

Поэтому составляем равенство

и находим его решение:

A = 287300 .

Ответ: доходы 40 % семей менее 287300.

Закрытый интервал

Во многих задачах требуется найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина примет значение в интервале от z 1 до z 2 . То есть попадёт в закрытый интервал. Для решения таких задач необходимо найти в таблице вероятности, соответствующие границам интервала, а затем найти разность этих вероятностей. При этом требуется вычитать меньшее значение из большего. Примеры на решения этих распространённых задач - следующие, причём решить их предлагается самостоятельно, а затем можно посмотреть правильные решения и ответы.

Пример 3. Прибыль предприятия за некоторый период - случайная величина, подчинённая нормальному закону распределения со средним значением 0,5 млн. у.е. и стандартным отклонением 0,354. Определить с точностью до двух знаков после запятой вероятность того, что прибыль предприятия составит от 0,4 до 0,6 у.е.

Пример 4. Длина изготавливаемой детали представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с параметрами μ =10 и σ =0,071 . Найти с точностью до двух знаков после запятой вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 10±0,05 .

Подсказка: в этой задаче помимо нахождения вероятности попадания случайной величины в закрытый интервал (вероятность получения небракованной детали) требуется выполнить ещё одно действие.

позволяет определить вероятность того, что стандартизованное значение Z не меньше -z и не больше +z , где z - произвольно выбранное значение стандартизованной случайной величины.

Приближенный метод проверки нормальности распределения

Приближенный метод проверки нормальности распределения значений выборки основан на следующем свойстве нормального распределения: коэффициент асимметрии β 1 и коэффициент эксцесса β 2 равны нулю .

Коэффициент асимметрии β 1 численно характеризует симметрию эмпирического распределения относительно среднего. Если коэффициент асимметрии равен нулю, то среднее арифметрического значение, медиана и мода равны: и кривая плотности распределения симметрична относительно среднего. Если коэффициент асимметрии меньше нуля (β 1 < 0 ), то среднее арифметическое меньше медианы, а медиана, в свою очередь, меньше моды () и кривая сдвинута вправо (по сравнению с нормальным распределением) . Если коэффициент асимметрии больше нуля (β 1 > 0 ), то среднее арифметическое больше медианы, а медиана, в свою очередь, больше моды () и кривая сдвинута влево (по сравнению с нормальным распределением) .

Коэффициент эксцесса β 2 характеризует концентрацию эмпирического распределения вокруг арифметического среднего в направлении оси Oy и степень островершинности кривой плотности распределения. Если коэффициент эксцесса больше нуля, то кривая более вытянута (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более островершинный). Если коэффициент эксцесса меньше нуля, то кривая более сплющена (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более туповершинный).

Коэффициент асимметрии можно вычислить с помощью функции MS Excel СКОС. Если вы проверяете один массив данных, то требуется ввести диапазон данных в одно окошко "Число".

Коэффициент эксцесса можно вычислить с помощью функции MS Excel ЭКСЦЕСС. При проверке одного массива данных также достаточно ввести диапазон данных в одно окошко "Число".

Итак, как мы уже знаем, при нормальном распределении коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю. Но что, если мы получили коэффициенты асимметрии, равные -0,14, 0,22, 0,43, а коэффициенты эксцесса, равные 0,17, -0,31, 0,55? Вопрос вполне справедливый, так как практически мы имеем дело лишь с приближенными, выборочными значениями асимметрии и эксцесса, которые подвержены некоторому неизбежному, неконтролируемому разбросу. Поэтому нельзя требовать строгого равенства этих коэффициентов нулю, они должны лишь быть достаточно близкими к нулю. Но что значит - достаточно?

Требуется сравнить полученные эмпирические значения с допустимыми значениями. Для этого нужно проверить следующие неравенства (сравнить значения коэффициентов по модулю с критическими значениями - границами области проверки гипотезы).

Для коэффициента асимметрии β 1 .

Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL НОРМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения и стандартного отклонения .

Нормальное распределение (также называется распределением Гаусса) является самым важным как в теории, так в приложениях системы контроля качества. Важность значения Нормального распределения (англ. Normal distribution ) во многих областях науки вытекает из теории вероятностей.

Определение : Случайная величина x распределена по нормальному закону , если она имеет :

Нормальное распределение зависит от двух параметров: μ (мю) - является , и σ ( сигма) - является (среднеквадратичным отклонением). Параметр μ определяет положение центра плотности вероятности нормального распределения , а σ - разброс относительно центра (среднего).

Примечание : О влиянии параметров μ и σ на форму распределения изложено в статье про , а в файле примера на листе Влияние параметров можно с помощью понаблюдать за изменением формы кривой.

Нормальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Нормального распределения имеется функция НОРМ.РАСП() , английское название - NORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (μ; σ). Так же часто используют обозначение через N (μ; σ 2).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция НОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности. НОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Стандартное нормальное распределение

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с μ=0 и σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (0;1).

Примечание : В литературе для случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение z.

Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное через замену переменной z =( x -μ)/σ . Этот процесс преобразования называется стандартизацией .

Примечание : В MS EXCEL имеется функция НОРМАЛИЗАЦИЯ() , которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то нормализацией . Формулы =(x-μ)/σ и =НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ) вернут одинаковый результат.

В MS EXCEL 2010 для имеется специальная функция НОРМ.СТ.РАСП() и ее устаревший вариант НОРМСТРАСП() , выполняющий аналогичные вычисления.

Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации нормального распределения N (1,5; 2).

Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1,5; 2) , меньше или равна 2,5. Формула выглядит так: =НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА) =0,691462. Сделав замену переменной z =(2,5-1,5)/2=0,5 , запишем формулу для вычисления Стандартного нормального распределения: =НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА) =0,691462.

Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см. файл примера лист Пример ).

Обратите внимание, что стандартизация относится только к (аргумент интегральная равен ИСТИНА), а не к плотности вероятности .

Примечание : В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле =НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА) . Вычисления производятся по формуле

В силу четности функции распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).

Обратные функции

Функция НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА) вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется стандартного нормального распределения .

В MS EXCEL для вычисления квантилей используют функцию НОРМ.СТ.ОБР() и НОРМ.ОБР() .

Графики функций

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей нормальное распределение , находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% - в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для стандартного нормального распределения можно записав формулу:

= НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-НОРМ.СТ.РАСП(-1;ИСТИНА)

которая вернет значение 68,2689% - именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от среднего (см. лист График в файле примера ).

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения: f ( x )= f (-х) , функция стандартного нормального распределения обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:

= 2*НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-1

Для произвольной функции нормального распределения N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:

2* НОРМ.РАСП(μ+1*σ;μ;σ;ИСТИНА)-1

Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для .

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы для параметров распределения: μ и σ.

Генерация случайных чисел

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие значения для каждой пары параметров:

Примечание : Если установить опцию Случайное рассеивание ( Random Seed ), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами .

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ . Оценку для μ можно сделать с использованием функции СРЗНАЧ() , а для σ – с использованием функции СТАНДОТКЛОН.В() , см. .

Примечание : Для генерирования массива чисел, распределенных по нормальному закону , можно использовать формулу =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ) . Функция СЛЧИС() генерирует от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Задачи

Задача1 . Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их. Решение1 : = 1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)

Задача2 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ? Решение2 : = НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25) На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.

Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Задача3 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий? Решение3 : = НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25) =20,6899 или = НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2 (произведена «дестандартизация», см. выше)

Задача 4 . Нахождение параметров нормального распределения по значениям 2-х (или ). Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я процентиля (например, 0,5- процентиль , т.е. медиана и 0,95-я процентиль ). Т.к. известна , то мы знаем , т.е. μ. Чтобы найти нужно использовать . Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции НОРМОБР() и НОРМСТОБР() , которые эквивалентны НОРМ.ОБР() и НОРМ.СТ.ОБР() . НОРМОБР() и НОРМСТОБР() оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.

Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин

Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин x ( i ) с параметрами μ ( i ) и σ ( i ) также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ (1)+ μ(2) и КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.