Графики сложных функций и их формулы. Как решать задачи на функцию. Графики и основные свойства элементарных функций

После того, как вы действительно поймете, что такое функция (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой «y = 2x − 1 »

1. Вычислить «y » при «x = 15 »
2. Найти значение «x », при котором значение «y » равно «−19 ».

Для того, чтобы вычислить «y » при «x = 15 » достаточно подставить в функцию вместо «x » необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, чтобы найти «x » по известному «y », необходимо подставить вместо «y » в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска «x » мы подставляем в функцию «y = 2x − 1 » вместо «y » число «−19 » .

−19 = 2x − 1

Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x », которое решается по правилам решения линейных уравнений.

Запомните!

Не забывайте про правило переноса в уравнениях.

При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на противоположный .

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас требуется умножить и левую, и правую часть на «−1 » для смены знака.

−2x = 18 | · (−1)
2x = −18

Теперь разделим и левую, и правую часть на «2 », чтобы найти «x » .

2x = 18 | (: 2)
x = 9

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x ».

Верно ли равенство «f(−2) = −18 »?

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x » числовое значение «x = −2 » и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Важно!

Когда подставляете отрицательное число вместо «x », обязательно заключайте его в скобки.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили «f(−2) = 12 ».

Это означает, что «f(−2) = −18 » для функции «f(x) = 2 − 5x » не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию «y = x 2 −5x + 6 »

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами (1; 2) .

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Запомните!

Чтобы определить, принадлежит ли точка функции, достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси «Ox » вместо «x » и координату по оси «Oy » вместо «y »).

Если получится верное равенство , значит, точка принадлежит функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x 2 − 5x + 6 » координаты точки (1; 2) .

Вместо «x » подставим «1 ». Вместо «y » подставим «2 ».

2 = 1 2 − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами (1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1) . Принадлежит ли она
функции «y = x 2 − 5x + 6 »?

Вместо «x » подставим «0 ». Вместо «y » подставим «1 ».

1 = 0 2 − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)

В этом случае мы не получили верное равенство. Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции «y = x 2 − 5x + 6 »

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1 ». Её график мы уже строили в предыдущем уроке .

Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1 », чему равен «y » при x = 2 .

Для этого из значения «2 » на оси «Ox » проведем перпендикуляр к графику функции. Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy ».

Полученное значение «−3 » на оси «Oy » и будет искомым значением «y ».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1 ».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции «y(x) = −2x + 1 ». Если мы правильно провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3 .

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

При расчетах мы также получили y = −3 .

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

Важно!

Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте подстановкой значений «x » в функцию.

При подстановке числового значения «x » в функцию в результате должно получиться то же значение «y », которое вы получили на графике.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график . В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций .

Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики . Графики для чайников? Можно сказать и так.

По многочисленным просьбам читателей кликабельное оглавление :

Кроме того, есть сверхкраткий конспект по теме
– освойте 16 видов графиков, изучив ШЕСТЬ страниц!

Серьёзно, шесть, удивился даже я сам. Данный конспект содержит улучшенную графику и доступен за символическую плaту , демо-версию можно посмотреть . Файл удобно распечатать, чтобы графики всегда были под рукой. Спасибо за поддержку проекта!

И сразу начинаем:

Как правильно построить координатные оси?

На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей .

Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат :

1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс , а ось – осью ординат . Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво . Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.

2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси .

3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички . При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше

НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям . Иногда вместо единиц удобно «засечь» другие значения, например, «двойку» на оси абсцисс и «тройку» на оси ординат – и эта система (0, 2 и 3) тоже однозначно задаст координатную сетку.

Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа . Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами , , , то совершенно понятно, что популярный масштаб 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку – здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем более мелкий масштаб 1 единица = 1 клеточка.

Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях.

К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым.

Дополнительно : вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов , подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства .

Трехмерный случай

Здесь почти всё так же.

1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат – направлена вверх, ось – направлена вправо, ось – влево вниз строго под углом 45 градусов.

2) Подписываем оси.

3) Задаем масштаб по осям. Масштаб по оси – в два раза меньше, чем масштаб по другим осям . Также обратите внимание, что на правом чертеже я использовал нестандартную «засечку» по оси (о такой возможности уже упомянуто выше) . С моей точки зрения, так точнее, быстрее и эстетичнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клетки и «лепить» единицу впритык к началу координат.

При выполнении трехмерного чертежа опять же – отдавайте приоритет масштабу
1 единица = 2 клетки (чертеж слева).

Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но чертить их на самом деле жуть как неохота Эксель их начертит гораздо точнее.

Графики и основные свойства элементарных функций

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую . Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Пример 1

Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если , то

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если , то

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа всегда подписываем графики .

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа . В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых , или справа внизу между графиками.

1) Линейная функция вида () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости .

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай:

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции . А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

Таким образом, вершина находится в точке

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция – не является чётной , но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или принципом «туда-сюда» с Анфисой Чеховой.

Выполним чертеж:

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции () справедливо следующее:

Если , то ветви параболы направлены вверх .

Если , то ветви параболы направлены вниз .

Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола .

Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:

Перечислим основные свойства функции

График функции

Он представляет собой одну из ветвей параболы . Выполним чертеж:

Основные свойства функции :

В данном случае ось является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при .

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой .

Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу .

Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить по оси влево (или вправо) на бесконечность, то «игреки» стройным шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко приближаться к оси .

Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция является нечётной , а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .

График функции вида () представляет собой две ветви гиперболы .

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях .

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков .

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы

Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:

Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола .

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции :

Принципиально так же выглядят графики функций , и т. д.

Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.

Основные свойства функции :

Область определения :

Область значений: .

Функция не ограничена сверху: , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: . Таким образом, ось является вертикальной асимптотой для графика функции при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма : .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , , (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция и логарифмическая функция – это две взаимно обратные функции . Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции

Данная линия называется синусоидой .

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит.

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определения : , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений: . Функция является ограниченной : , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке .
Такого не бывает: или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

Национальный научно-исследовательский университет

Кафедра прикладной геологии

Реферат по высшей математике

На тему: «Основные элементарные функции,

их свойства и графики»

Выполнил:

Проверил:

преподаватель

Определение. Функция, заданная формулой у=а х (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.

Сформулируем основные свойства показательной функции:

1. Область определения - множество (R) всех действительных чисел.

2. Область значений - множество (R+) всех положительных действительных чисел.

3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает.

4. Является функцией общего вида.

Функция вида у(х)=х n , где n – число ÎR, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

Степенная функция у=х²

1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

2. E(y)= и возрастает на промежутке

Степенная функция у=х³

1. График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами:

2. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

3. E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;

4. При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).

5. Функция возрастает на всей области определения.

6. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать.

Степенная функция с целым отрицательным показателем:

Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;

3. Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.

4. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.

5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.

Степенная функция с дробным показателем

Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)

1. D(x) ÎR, если n – нечетное число и D(x)= , на интервале xÎ , на интервале xÎ [-3;3]

Логарифмическая функция у = log a x обладает следующими свойствами:

1. Область определения D(x)Î (0; + ∞).

2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞)

3. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

4. Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.

График функции у = log a x может быть получен из графика функции у = а х с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.

Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.

Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная.

Функция y = sin (х).

1. Область определения D(x) ÎR.

2. Область значений E(y) Î [ - 1; 1].

3. Функция периодическая; основной период равен 2π.

4. Функция нечетная.

5. Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.

График функции у = sin (х) изображен на рисунке 11.

Функции и их графики - одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она... мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, - линейная функция и парабола - слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции - это все-таки арифметика. Преобразования выражений - это алгебра. А математика - наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики» .

Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».

Темы для повторения:

1. Построим график функции

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

Упростим формулу функции:

График функции - прямая с выколотой точкой

2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции - гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части - полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

3. Построим график функции

Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали

4. Построим график функции

Главное - правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:

Действуем по порядку:

1) График функции y=sinx сдвинем на влево;

2) сожмем в 2 раза по горизонтали,

3) растянем в 3 раза по вертикали,

4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

5. Построим график функции

Область определения функции:

Нули функции: и

Прямая x = 0 (ось Y) - вертикальная асимптота функции. Асимптота - прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.

6. Построим график функции

Это дробно-рациональная функция.

Область определения функции

Нули функции: точки - 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты:

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, - горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

Еще один интересный прием - сложение графиков.

7. Построим график функции

Если x стремится к бесконечности, то и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте

Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

8. Построим график функции

Область определения этой функции - положительные числа, поскольку только для положительных x определен

Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при

При , значение {cos x} равно единице. Значение функции в этих точках будет равно

9. Построим график функции

Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции - в точках, где то есть при

Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?

Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции

Область определения функции - все действительные числа, поскольку

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.

Найдем производную функции
По формуле производной частного,

Если или

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», - точка минимума функции.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», - точка максимума функции.

Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

Общая схема построения графика функции:

1. Область определения функции

2. Область значений функции

3. Четность - нечетность (если есть)

4. Периодичность (если есть)

5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции
• область значений функции
• нули функции
• промежутки возрастания и убывания
• точки максимума и минимума
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса - это координата точки по горизонтали.
Ордината - координата по вертикали.
Ось абсцисс - горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат - вертикальная ось, или ось .

Аргумент - независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения функции - множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции - это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции - это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок - от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции - точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия - возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции .

Точка максимума - это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума - такая точка, значение функции в которой больше , чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке - точка максимума.

Точка минимума - внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума - такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке - точка минимума.

Точка - граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции . В нашем случае это и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции - это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.