Как найти площадь параллелограмма? Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма по сторонам

Прежде чем узнать, как найти площадь параллелограмма, нам необходимо вспомнить, что такое параллелограмм и что называется его высотой. Параллелограмм – четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (лежат на параллельных прямых). Перпендикуляр, проведенный из произвольной точки противоположной стороны к прямой, содержащей эту сторону называется высотой параллелограмма.

Квадрат, прямоугольник и ромб – это частные случаи параллелограмма.

Площадь параллелограмма обозначается как (S).

Формулы нахождения площади параллелограмма

S=a*h , где а – это основание, h – это высота, которая проведена к основанию.

S=a*b*sinα , где a и b – это основания, а α - угол между основаниями а и b.

S =p*r , где р – это полупериметр, r – это радиус окружности, которая вписана в параллелограмм.

Площадь параллелограмма, который образован векторами a и b равна модулю произведения заданных векторов, а именно:

Рассмотрим пример №1: Дан параллелограмм, сторона которого равна 7 см, а высота 3 см. Как найти площадь параллелограмма, формула для решения нам необходима.

Таким образом, S= 7x3. S=21. Ответ: 21 см 2 .

Рассмотрим пример №2: Даны основания 6 и 7 см, а также дан угол между основаниями 60 градусов. Как найти площадь параллелограмма? Формула, используемая для решения:

Таким образом, сначала найдем синус угла. Синус 60 = 0,5, соответственно S = 6*7*0,5=21 Ответ: 21 см 2 .

Надеюсь, что эти примеры Вам помогут при решении задач. И помните, главное – это знание формул и внимательность

Определение параллелограмма

Параллелограмм - это четырехугольник, в котором противоположные стороны равны и параллельны.

Онлайн-калькулятор

Параллелограмм обладает некоторыми полезными свойствами, которые упрощают решение задач, связанных с этой фигурой. Например, одно из свойств заключается в том, что противоположные углы параллелограмма равны.

Рассмотрим несколько способов и формул с последующим решением простых примеров.

Формула площади параллелограмма по основанию и высоте

Данный способ нахождения площади является, наверно, одним из основных и простых, так как он практически идентичен формуле по нахождению площади треугольника за небольшим исключением. Для начала разберем обобщенный случай без использования чисел.

Пусть дан произвольный параллелограмм с основанием a a a , боковой стороной b b b и высотой h h h , проведенной к нашему основанию. Тогда формула для площади этого параллелограмма:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S = a ⋅ h

A a a - основание;
h h h - высота.

Разберем одну легкую задачу, чтобы потренироваться в решении типовых задач.

Пример

Найти площадь параллелограмма, в котором известно основание, равное 10 (см.) и высота, равная 5 (см.).

Решение

A = 10 a=10 a = 1 0
h = 5 h=5 h = 5

Подставляем в нашу формулу. Получаем:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50 S = 1 0 ⋅ 5 = 5 0 (см. кв.)

Ответ: 50 (см. кв)

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

В этом случае искомая величина находится так:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha) S = a ⋅ b ⋅ sin (α )

A , b a, b a , b - стороны параллелограмма;
α \alpha α - угол между сторонами a a a и b b b .

Теперь решим другой пример и воспользуемся вышеописанной формулой.

Пример

Найти площадь параллелограмма если известна сторона a a a , являющаяся основанием и с длиной 20 (см.) и периметр p p p , численно равный 100 (см.), угол между смежными сторонами ( a a a и b b b ) равен 30 градусам.

Решение

A = 20 a=20 a = 2 0
p = 100 p=100 p = 1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^{\circ} α = 3 0 ∘

Для нахождения ответа нам неизвестна лишь вторая сторона данного четырехугольника. Найдем ее. Периметр параллелограмма дается формулой:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p = a + a + b + b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b 1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b + b
100 = 40 + 2 b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2 b 60=2b 6 0 = 2 b
b = 30 b=30 b = 3 0

Самое сложное позади, осталось только подставить наши значения для сторон и угла между ними:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^{\circ})=300 S = 2 0 ⋅ 3 0 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (см. кв.)

Ответ: 300 (см. кв.)

Формула площади параллелограмма по диагоналям и углу между ними

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac{1}{2}\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha) S = 2 1 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin (α )

D D D - большая диагональ;
d d d - малая диагональ;
α \alpha α - острый угол между диагоналями.

Пример

Даны диагонали параллелограмма, равные 10 (см.) и 5 (см.). Угол между ними 30 градусов. Вычислить его площадь.

Решение

D = 10 D=10 D = 1 0
d = 5 d=5 d = 5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^{\circ} α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12.5 S=\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^{\circ})=12.5 S = 2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (см. кв.)

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

В этой фигуре противоположные стороны и углы равны между собой. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ей пополам. Формулы площади параллелограмма позволяют найти значение через стороны, высоту и диагонали. Параллелограмм также может быть представлен в частных случаях. Ими считаются прямоугольник, квадрат и ромб.
Для начала рассмотрим пример расчета площади параллелограмма по высоте и стороне, к которой она опущена.

Этот случай считается классическим и не требует дополнительного разбирательства. Лучше рассмотрим формулу вычисления площади через две стороны и угол между ними. Этот же способ применяется в расчете . Если даны стороны и угол между ними, то площадь рассчитывается так:

Допустим, дан параллелограмм со сторонами a = 4 см, b = 6 см. Угол между ними α = 30°. Найдем площадь:

Площадь параллелограмма через диагонали

Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D = 7 см, d = 5 см. Угол, лежащий между ними α =30°. Подставим данные в формулу:

Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75.

Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.

Задача: Дан параллелограмм с площадью 92 кв. см. Точка F расположена на середине его стороны ВС . Давайте найдем площадь трапеции ADFB , которая будет лежать в нашем параллелограмме. Для начала нарисуем все, что получили по условиям.
Приступаем к решению:

По нашим условиям ah =92, а соответственно, площадь нашей трапеции будет равняться

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
S = 1 2
2

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
a · b · sin α

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции
Где S - Площадь трапеции,
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,

Параллелограмм – геометрическая фигура, часто встречающаяся в задачах курса геометрии (раздел планиметрия). Ключевыми признаками данного четырехугольника являются равенство противолежащих углов и наличие двух пар параллельных противоположных сторон. Частные случаи параллелограмма – ромб, прямоугольник, квадрат.

Расчет площади данного вида многоугольника может быть произведен несколькими способами. Рассмотрим каждый из них.

Найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота

Для вычисления площади параллелограмма можно воспользоваться значениями его стороны, а также длины высоты, опущенной на нее. При этом полученные данные будут достоверны как для случая известной стороны – основания фигуры, так и если в вашем распоряжении боковая сторона фигуры. В таком случае искомая величина будет получена по формуле:

S = a * h (a) = b * h(b),

S – площадь, которую следовало определить,
a, b – известная (или полученная путем вычислений) сторона,
h – высота, опущенная на нее.

Пример: значение основания параллелограмма – 7 см, длина перпендикуляра, опущенного на него из противолежащей вершины, – 3 см.

Решение:S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Найти площадь параллелограмма, если известны 2 стороны и угол между ними

Рассмотрим случай, когда вы знаете величины двух сторон фигуры, а также градусной меры угла, который они между собой образуют. Предоставленными данными также можно воспользоваться для нахождения площади параллелограмма. В этом случае выражение-формула будет иметь следующий вид:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

a – боковая сторона,
с – известное (или полученное путем вычислений) основание,
α, β – углы между сторонами a и c.

Пример: основание параллелограмма – 10 см, его боковая сторона на 4 см меньше. Тупой угол фигуры составляет 135°.

Решение: определяем значение второй стороны: 10 – 4 = 6 см.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Найти площадь параллелограмма, если известны диагонали и угол между ними

Наличие известных значений диагоналей данного многоугольника, а также угла, который они образуют в результате своего пересечения, позволяет определить величину площади фигуры.

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S – площадь, которую следует определить,
d1, d2 – известные (или полученные путем вычислений) диагонали,
γ, φ – углы между диагоналями d1 и d2.